Mathe Lernzettel

Exponentialfunktionen – Grundlagen und Anwendungen

Basierend auf der Checkliste für die Arbeit

Alles Wichtige aus der Checkliste deiner Lehrerin – Verständlich erklärt!

1. Lineares vs. Exponentielles Wachstum

Unterschied erkennen: Der wichtigste Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum!

Lineares Wachstum

  • Gleichmäßige Zunahme
  • Jedes Mal wird derselbe Wert addiert
  • Funktion: \( f(x) = mx + b \)
  • Graph: Gerade
  • Beispiel: Taschengeld (jede Woche +5€)

Exponentielles Wachstum

  • Schnellere Zunahme
  • Jedes Mal wird mit derselben Zahl multipliziert
  • Funktion: \( f(x) = a \cdot b^x \)
  • Graph: Kurve (steil ansteigend/fallend)
  • Beispiel: Bakterienwachstum (jede Stunde ×2)

Merksatz: Linear = immer + dieselbe Zahl | Exponentiell = immer × dieselbe Zahl

Beispiel-Wertetabelle:

x Lineares Wachstum
\( f(x) = 2x + 1 \)		 Exponentielles Wachstum
\( f(x) = 2 \cdot 2^x \)
0 1 2
1 3 4
2 5 8
3 7 16
4 9 32

2. Parameter in Exponentialfunktionen

Die Parameter verstehen: Was bedeuten a, b, c, d in den verschiedenen Funktionsgleichungen?

Grundform: \( f(x) = a \cdot b^x \)

Parameter erklärt:

  • a (Startwert/Vorfaktor):
    • Beeinflusst den Startwert (y-Achsenabschnitt)
    • \( a > 0 \): Normaler Verlauf
    • \( a < 0 \): Spiegelung an der x-Achse
    • Beispiel: \( f(x) = 3 \cdot 2^x \) startet bei y = 3
  • b (Basis/Wachstumsfaktor):
    • \( b > 1 \): Wachstum (steigt)
    • \( 0 < b < 1 \): Zerfall (fällt)
    • Beispiel: \( f(x) = 2^x \) wächst, \( f(x) = 0.5^x \) zerfällt
  • c (Verschiebung nach oben/unten):
    • \( f(x) = b^x + c \)
    • Verschiebt den ganzen Graphen um c Einheiten
    • Beispiel: \( f(x) = 2^x + 3 \) ist um 3 nach oben verschoben
  • d (Verschiebung nach links/rechts):
    • \( f(x) = b^{x-d} \)
    • Verschiebt den Graphen um d Einheiten nach rechts
    • Beispiel: \( f(x) = 2^{x-3} \) ist um 3 nach rechts verschoben

Graphen skizzieren lernen:

Tipp: Immer zuerst Startwert (a) auf y-Achse markieren, dann Wachstumsrichtung (b) beachten!

3. Funktionsgraph Verlauf beschreiben

Wichtige Aspekte: Verhalten im Unendlichen, Asymptote, Zuordnung von Graphen

Verhalten im Unendlichen:

  • Für \( b > 1 \):
    • \( x \to +\infty \): \( f(x) \to +\infty \) (gegen unendlich)
    • \( x \to -\infty \): \( f(x) \to 0 \) (gegen Null)
  • Für \( 0 < b < 1 \):
    • \( x \to +\infty \): \( f(x) \to 0 \) (gegen Null)
    • \( x \to -\infty \): \( f(x) \to +\infty \) (gegen unendlich)

Asymptote:

  • Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph annähert, aber nie erreicht
  • Bei \( f(x) = a \cdot b^x \) ist die Asymptote immer die x-Achse (y = 0)
  • Bei \( f(x) = b^x + c \) ist die Asymptote die Gerade y = c
  • Beispiel: \( f(x) = 2^x + 3 \) hat Asymptote bei y = 3

Typische Prüfungsfrage: "Beschreibe den Verlauf des Graphen von \( f(x) = 3 \cdot 0.5^x \) für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) und gib die Asymptote an."

Antwort: "Für \( x \to \infty \) geht f(x) gegen 0, für \( x \to -\infty \) geht f(x) gegen \( \infty \). Asymptote ist y = 0."

4. Potenzgesetze und Exponentialgleichungen

Die Werkzeuge zum Lösen: Potenzgesetze anwenden und Exponentialgleichungen lösen

Wichtige Potenzgesetze:

  • \( b^m \cdot b^n = b^{m+n} \) (gleiche Basis → Exponenten addieren)
  • \( \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \) (gleiche Basis → Exponenten subtrahieren)
  • \( (b^m)^n = b^{m \cdot n} \) (Potenz potenzieren → Exponenten multiplizieren)
  • \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \) (gleicher Exponent → Basen multiplizieren)
  • \( b^0 = 1 \) (jede Zahl hoch 0 ist 1)
  • \( b^{-n} = \frac{1}{b^n} \) (negativer Exponent → Kehrwert)

Exponentialgleichungen lösen – Schritt für Schritt:

1. Gleiche Basen herstellen: Versuche, beide Seiten auf dieselbe Basis zu bringen

Beispiel: \( 2^{x+1} = 8 \)

8 kann als \( 2^3 \) geschrieben werden: \( 2^{x+1} = 2^3 \)

2. Exponentenvergleich: Wenn Basen gleich sind, können die Exponenten gleichgesetzt werden

\( 2^{x+1} = 2^3 \) → \( x+1 = 3 \)

3. Gleichung lösen: Einfache Gleichung auflösen

\( x+1 = 3 \) → \( x = 2 \)

4. Logarithmus verwenden (wenn Basen nicht gleich gemacht werden können):

Beispiel: \( 3^x = 10 \) → \( x = \log_3(10) \) oder \( x = \frac{\ln(10)}{\ln(3)} \)

5. Funktionsterm anhand von zwei Punkten bestimmen

Praktische Anwendung: Wenn du zwei Punkte gegeben hast, kannst du die Exponentialfunktion finden

Schritt-für-Schritt Anleitung:

1. Allgemeine Form aufstellen: \( f(x) = a \cdot b^x \)
2. Punkte einsetzen: Gegeben sind z.B. P(0|2) und Q(2|8)

Aus P(0|2): \( 2 = a \cdot b^0 \) → \( 2 = a \cdot 1 \) → \( a = 2 \)

Aus Q(2|8): \( 8 = 2 \cdot b^2 \) → \( b^2 = 4 \) → \( b = 2 \) (da b > 0)

3. Funktionsterm hinschreiben: \( f(x) = 2 \cdot 2^x \)
4. Probe machen: Beide Punkte einsetzen und prüfen

Tipp: Wenn ein Punkt bei x=0 liegt, kannst du direkt a ablesen! Denn \( b^0 = 1 \), also \( f(0) = a \cdot 1 = a \)

Typische Aufgabenstellung: "Eine Exponentialfunktion geht durch die Punkte A(0|3) und B(2|12). Bestimme den Funktionsterm."

6. Logarithmus bestimmen

Der Schlüssel zum Lösen: Der Logarithmus ist das Gegenteil der Potenzierung

Wenn \( b^x = y \), dann ist \( x = \log_b(y) \)

Wichtige Eigenschaften:

  • Definition: \( \log_b(y) \) = "Mit welcher Zahl muss ich b potenzieren, um y zu erhalten?"
  • Beispiel: \( 2^3 = 8 \) → \( \log_2(8) = 3 \)
  • Spezialfälle:
    • \( \log_b(1) = 0 \) (weil \( b^0 = 1 \))
    • \( \log_b(b) = 1 \) (weil \( b^1 = b \))
    • \( \log_b(b^x) = x \)
  • Logarithmusgesetze:
    • \( \log_b(u \cdot v) = \log_b(u) + \log_b(v) \)
    • \( \log_b\left(\frac{u}{v}\right) = \log_b(u) - \log_b(v) \)
    • \( \log_b(u^n) = n \cdot \log_b(u) \)

Beispielaufgabe:

Löse: \( 5^x = 125 \)

Lösung: \( x = \log_5(125) \)

Da \( 5^3 = 125 \), ist \( \log_5(125) = 3 \) → \( x = 3 \)

Merksatz: Logarithmus = Exponent gesucht! "log basis (zahl) = exponent"

7. Sachaufgaben lösen

Anwendung in der Praxis: Textaufgaben zu Exponentialfunktionen verstehen und lösen

Typische Sachaufgaben:

  • Bevölkerungswachstum: "Eine Stadt hat 10.000 Einwohner und wächst jährlich um 2%"
  • Zinseszins: "Ein Kapital von 1000€ wird zu 3% Zinsen angelegt"
  • Radioaktiver Zerfall: "Eine Substanz halbiert sich alle 5 Jahre"
  • Bakterienwachstum: "Bakterien vermehren sich alle Stunde um 10%"

So gehst du vor:

1. Gegebene Werte erkennen: Startwert, Wachstumsrate, Zeitraum
2. Funktionstyp bestimmen: Meist exponentielles Wachstum oder Zerfall
3. Funktion aufstellen: \( f(x) = a \cdot b^x \)

Beispiel: "Ein Auto verliert jährlich 15% an Wert. Kaufpreis: 20.000€"

Startwert a = 20.000

Wachstumsfaktor b = 1 - 0,15 = 0,85 (da Wertverlust)

Funktion: \( f(x) = 20000 \cdot 0,85^x \) (x in Jahren)

4. Gesuchten Wert berechnen: x-Wert einsetzen oder Gleichung lösen
5. Antwort formulieren: In Worten mit Einheiten

Wichtig: Bei prozentualer Zunahme: \( b = 1 + p \) (z.B. +5% → b = 1,05)

Bei prozentualer Abnahme: \( b = 1 - p \) (z.B. -20% → b = 0,80)

8. Checkliste – Hast du alles verstanden?

Selbsttest: Überprüfe, ob du alle Punkte der Lehrerin beherrschst

Grundlagen:

... kann lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden
... kann Wertetabellen anlegen/ergänzen
... kann Funktionsgraphen skizzieren
... kann Parameter a, b, c, d erklären
... kann Verlauf und Asymptote beschreiben
... kann Graphen Funktionsgleichungen zuordnen
... kann Potenzgesetze anwenden

Umgang mit Exponentialfunktionen:

... kann Funktionsterm aus zwei Punkten bestimmen
... kann Logarithmus bestimmen
... kann Exponentialgleichungen graphisch lösen
... kann Exponentialgleichungen rechnerisch lösen
... kann durch Exponentenvergleich lösen
... kann Sachaufgaben lösen

Mini-Quiz: Teste dein Wissen!

Klicke hier für eine Übungsaufgabe

Was ist der Wachstumsfaktor bei einer jährlichen Zunahme von 3%?

Lerntipp: Gehe die Checkliste Punkt für Punkt durch. Wenn du bei einem Punkt unsicher bist, lies nochmal den entsprechenden Abschnitt oben!

9. Zusammenfassung & Tipps für die Arbeit

Das Wichtigste auf einen Blick: Alles, was du für eine gute Note brauchst

Das muss sitzen:

  1. Unterschied lineares/exponentielles Wachstum: + vs. ×
  2. Parameter verstehen: a=Startwert, b=Wachstumsfaktor (>1: Wachstum, 0-1: Zerfall)
  3. Funktion aus zwei Punkten bestimmen: Punkte einsetzen, Gleichungssystem lösen
  4. Exponentialgleichungen lösen:
    • Gleiche Basen herstellen → Exponentenvergleich
    • Sonst Logarithmus verwenden
  5. Potenzgesetze beherrschen: Für Umformungen essentiell!
  6. Sachaufgaben: Immer zuerst Startwert und Wachstumsfaktor bestimmen

Tipps für die Klassenarbeit:

  1. Zeitmanagement: Beginnen mit Aufgaben, die du sicher kannst
  2. Probe machen: Bei "Funktion bestimmen"-Aufgaben die Punkte einsetzen und prüfen
  3. Einheiten nicht vergessen: Besonders bei Sachaufgaben!
  4. Grafische Lösung: Wenn rechnerisch nicht klappt, versuche es grafisch
  5. Kontrolle: Am Ende nochmal alle Aufgaben durchgehen

Abschlussmerkatz: Exponentielles Wachstum = Startwert × Wachstumsfaktor^Zeit

\( f(x) = a \cdot b^x \) – merke dir diese Formel!