📐 TRIGONOMETRIE · KOMPLETT

🔷 Alles aus deinen Unterlagen – Basics, Formeln, Sätze, Einheitskreis, Sinus/Cosinus/Tangens, Sinussatz, Kosinussatz, Beispiele, Zeichnungen, Merkhilfen.

🔹 1. GRUNDLAGEN: Dreiecke & Winkel

📐 Dreieck ABC – Beschriftung

Eckpunkte: A, B, C (gegen Uhrzeigersinn)
Seiten: a = BC (gegenüber A), b = CA (gegenüber B), c = AB (gegenüber C)
Winkel: α bei A, β bei B, γ bei C
Innenwinkelsumme: α + β + γ = 180°

🔺 Dreiecksarten

spitzwinklig: alle Winkel < 90°
rechtwinklig: ein Winkel = 90°
stumpfwinklig: ein Winkel > 90°
gleichschenklig: zwei Seiten gleich
gleichseitig: alle Seiten gleich, alle Winkel 60°

Seite a gegenüber A Winkel α bei A

🔹 2. RECHTWINKLIGES DREIECK (γ = 90°)

📌 Satz des Pythagoras

a² + b² = c²

c = Hypotenuse (längste Seite, gegenüber γ)

📌 Kathetensatz / Höhensatz

Kathetensatz: a² = p·c, b² = q·c

Höhensatz: h² = p·q

(p,q = Hypotenusenabschnitte)

Winkel α Seiten

📐 Sinus – Kosinus – Tangens

sin α

Gegenkathete / Hypotenuse = a / c

cos α

Ankathete / Hypotenuse = b / c

tan α

Gegenkathete / Ankathete = a / b

📣 GAGA – Hühnerhof – AG
Gegenkathete / Ankathete = tan Gegenkathete / Hypotenuse = sin Ankathete / Hypotenuse = cos

🔗 Wichtige Beziehungen

tan α = sin α / cos α

sin² α + cos² α = 1

sin α = cos(90° – α) cos α = sin(90° – α)

📏 Grenzfälle

sin 0° = 0, sin 90° = 1
cos 0° = 1, cos 90° = 0
tan 0° = 0, tan 90° nicht definiert

🔹 3. EINHEITSKREIS (r = 1)

cos α = x-Koordinate sin α = y-Koordinate tan α = y/x

📌 Vorzeichen in den Quadranten

Quadrant	Winkel	sin	cos	tan
I	0° – 90°	+	+	+
II	90° – 180°	+	–	–
III	180° – 270°	–	–	+
IV	270° – 360°	–	+	–

⚠ Für stumpfe Winkel (α > 90°) gilt: sin α = sin(180° – α) cos α = –cos(180° – α)

📊 Wichtige Werte (exakt)

α	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin α	0	½	√2/2	√3/2	1	0	–1	0
cos α	1	√3/2	√2/2	½	0	–1	0	1
tan α	0	1/√3	1	√3	–	0	–	0

🔹 4. BELIEBIGE DREIECKE (Sinussatz / Kosinussatz)

📐 Sinussatz

a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Anwendung: zwei Winkel + eine Seite (SWW, WSW) oder zwei Seiten + ein nicht eingeschlossener Winkel (SsW)

stumpfer Winkel: sin α = sin(180° – α)

📏 Kosinussatz

a² = b² + c² – 2bc·cos α
b² = a² + c² – 2ac·cos β
c² = a² + b² – 2ab·cos γ

Anwendung: zwei Seiten + eingeschlossener Winkel (SWS) oder drei Seiten (SSS)

stumpf: cos α = –cos(180° – α)

Höhe hc = b·sin α = a·sin β (Herleitung Sinussatz)

📐 Flächeninhalt (mit Sinus)

A = ½ · a · b · sin γ = ½ · a · c · sin β = ½ · b · c · sin α

immer zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel.

🔹 5. TRIGONOMETRISCHE GLEICHUNGEN (0° ≤ α < 360°)

Beispiel: sin α = 0,5

1. Taschenrecher: α₁ = sin⁻¹(0,5) = 30° (I)

2. Sinus positiv auch im II. Quadranten: α₂ = 180° – 30° = 150°

Lösungen: α = 30° und 150°

Beispiel: cos α = –0,5

1. TR: cos⁻¹(0,5) = 60° (I), aber Vorzeichen negativ

2. Kosinus negativ im II. und III. Quadranten:

α₁ = 180° – 60° = 120°, α₂ = 180° + 60° = 240°

🔹 6. ALLE BEZIEHUNGEN & IDENTITÄTEN

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

sin(2α) = 2 sin α cos α

cos(2α) = cos²α – sin²α

sin²α + cos²α = 1

tan α = sin α / cos α

📋 FORMELÜBERSICHT (alles für die Arbeit)

✔ Pythagoras: a² + b² = c²
✔ sin α = Gk / Hyp = a/c
✔ cos α = Ak / Hyp = b/c
✔ tan α = Gk / Ak = a/b
✔ tan α = sin α / cos α
✔ sin²α + cos²α = 1
✔ sin α = cos(90°–α)
✔ cos α = sin(90°–α)
✔ Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ
✔ Kosinussatz: a² = b² + c² – 2bc·cos α
✔ Fläche: A = ½·a·b·sin γ
✔ Einheitskreis: sin α = y, cos α = x
✔ sin(180°–α) = sin α
✔ cos(180°–α) = –cos α

✅ DEINE CHECKLISTE (aus dem Material)

sicher fast sicher noch unsicher

🔹 Winkelarten / Dreieckarten unterscheiden
🔹 Dreiecke beschriften (A, B, C, a, b, c, α, β, γ)
🔹 Satz des Pythagoras
🔹 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck
🔹 sin, cos, tan im Sachkontext
🔹 Sinussatz aufstellen & anwenden
🔹 Kosinussatz aufstellen & anwenden
🔹 Sinussatz/Kosinussatz im Sachkontext
🔹 Gleichungen mit sin, cos, tan umformen
🔹 Winkel am Einheitskreis bestimmen
🔹 Flächeninhalte mit Sinus berechnen