Mathe Lernzettel – Lineares und exponentielles Wachstum

📌 Grundbegriffe

• Bestand B(t): Wert oder Menge zu einem bestimmten Zeitpunkt t
• Anfangsbestand B(0): Bestand zum Zeitpunkt t = 0
• Wachstumsfaktor a: Konstanter Quotient zwischen zwei aufeinanderfolgenden Beständen bei exponentiellem Wachstum

📈 Lineares Wachstum

Definition: Konstante absolute Zunahme pro Zeiteinheit

• Formel: B(t+1) = B(t) + d
• Differenz d: d = B(t+1) - B(t) ist konstant für alle t
• Allgemeine Form: B(t) = B(0) + d · t

🚀 Exponentielles Wachstum

Definition: Konstante prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit

• Formel: B(t+1) = B(t) · a
• Quotient a: a = B(t+1)/B(t) ist konstant für alle t
• Zusammenhang mit prozentualer Änderung: a = 1 + p (wobei p die prozentuale Änderung)

📉 Abnahmeprozesse

Lineare Abnahme

• d < 0 (negative Differenz)
• Konstante absolute Abnahme pro Zeiteinheit

Exponentielle Abnahme

• 0 < a < 1 (Wachstumsfaktor zwischen 0 und 1)
• Formel: a = 1 - p
• Konstante prozentuale Abnahme pro Zeiteinheit

🔍 Untersuchung des Wachstumstyps

So erkennst du, welches Wachstum vorliegt:

1. Berechne Differenzen: d = B(t+1) - B(t)
   • Wenn d konstant → lineares Wachstum
2. Berechne Quotienten: a = B(t+1)/B(t)
   • Wenn a konstant → exponentielles Wachstum
3. Weder noch → anderes Wachstumsmodell

💡 Wichtige Hinweise

• Negatives Wachstum: Allgemeiner Begriff für Abnahmeprozesse
• Untersuchung immer mit mehreren Wertepaaren durchführen
• Prozentuale Änderung führt immer zu exponentiellem Wachstum/Abnahme

🎯 Typische Anwendungen

• Wertentwicklung von Gegenständen (Autos, Fahrräder)
• Populationen von Tieren
• Kapitalentwicklung mit Zinseszins
• Radioaktiver Zerfall

🌟 Zusammenfassung & Tipps

• Lineares Wachstum: Konstanter absoluter Zuwachs, Differenz konstant
• Exponentielles Wachstum: Konstanter prozentualer Zuwachs, Quotient konstant
• Abnahme: Entspricht negativem Wachstum (d < 0 oder 0 < a < 1)
• Unterscheidung: Immer mehrere Wertepaare vergleichen!