1. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Definition: Eine Potenz beschreibt, wie oft eine Zahl (Basis) mit sich selbst multipliziert wird.
aⁿ = a · a · a · ... (n-mal)
- a = Basis
- n = Exponent (z. B. 2, –3, 4)
Beispiel: 2³ = 2·2·2 = 8 | 5⁰ = 1 | 2⁻³ = 1/8
Weiteres Beispiel: (-3)² = 9, aber -3² = -9 → Klammern beachten!
Typischer Fehler: Viele verwechseln (-2)³ = -8 mit -2³ = -8. Klammern zeigen, ob das Minus mit potenziert wird!
Tipp: Jede Zahl hoch 0 ist immer 1, außer 0⁰ (nicht definiert).
2. Potenzen mit gleicher Basis
Merksatz: Gleiche Basis → Exponenten addieren oder subtrahieren.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Beispiel: 5³·5² = 5⁵ = 3125
Weitere Beispiele: 2⁴·2⁻² = 2² = 4 | 10⁵ ÷ 10³ = 10² = 100
Typischer Fehler: Die Basis darf nicht verschieden sein! 3²·4² = (3·4)², nicht 3⁴ oder 4⁴.
Tipp: Wenn du gleiche Basis hast, prüfe immer zuerst, ob du sie zusammenfassen kannst – das spart Rechenzeit.
3. Potenzen mit gleichen Exponenten
Merksatz: Gleicher Exponent → Basen multiplizieren oder dividieren.
(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
(a÷b)ⁿ = aⁿ÷bⁿ
Beispiel: (2·3)² = 2²·3² = 36
Weitere Beispiele: (4·5)³ = 4³·5³ = 8 000 | (6÷2)² = 6² ÷ 2² = 36 ÷ 4 = 9
Typischer Fehler: Das Gesetz gilt nicht für Summen: (a + b)² ≠ a² + b²!
Tipp: Wenn du Klammern siehst, prüfe zuerst, ob eine Multiplikation oder Addition vorliegt.
Buchseiten: S. 192–194
Aufgaben: S. 193 Nr. 1–4, S. 194 Nr. 14, 18
Übung: Studienkreis
4. Potenzieren von Potenzen
Merksatz: Eine Potenz wird potenziert → Exponenten multiplizieren.
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Beispiel: (2³)² = 2⁶ = 64
Weitere Beispiele: (5²)³ = 5⁶ = 15 625 | (10⁻¹)² = 10⁻² = 1/100
Typischer Fehler: Exponenten werden multipliziert, nicht addiert!
Tipp: Bei Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten gilt diese Regel genauso.
5. Rationale Exponenten & Wurzeln
Merksatz: Wurzeln sind Potenzen mit rationalem Exponenten.
a¹⁄ⁿ = ⁿ√a
aᵐ⁄ⁿ = ⁿ√(aᵐ)
Beispiel: 8¹⁄³ = ³√8 = 2
Weitere Beispiele: 16¹⁄² = √16 = 4 | 27²⁄³ = ³√(27²) = ³√729 = 9
Tipp: Brüche im Exponenten helfen, Wurzeln und Potenzen zusammenzufassen.
6. Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form:
ax² + bx + c = 0
Mitternachtsformel:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
pq-Formel (wenn a = 1):
x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
Beispiel: x² − 5x + 6 = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3
Weitere Beispiele:
2x² + 3x - 2 = 0 → a=2, b=3, c=-2 → x₁ = 0.5, x₂ = -2
x² + 4x + 4 = 0 → D=0 → x₁,₂ = -2 (Doppellösung)
Typischer Fehler: Die Wurzel aus einem negativen Diskriminantenwert (b² - 4ac) ist nicht reell → keine Lösung in ℝ!
Tipp: Immer zuerst den Diskriminantenwert Δ = b² - 4ac prüfen.
Δ > 0 → 2 Lösungen
Δ = 0 → 1 Lösung
Δ < 0 → keine reelle Lösung